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┗741.受験生のための数学・物理攻略スレ(101-120/448)
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120 :
テクラ
2008/01/13(日) 01:29:43
本当は誘導問題が付いてましたが、省きました。m(＿)m
<解答・解説>
方針としてはb(n+1)をb(n)で表し、その漸化式を解くが正解です。
n+1回目の操作後、Bに玉が入っている場合は
(1)n回目で玉がB箱→そのままB箱
(2)n回目で玉がA・C箱→B箱
の２通り。
(1)の確率は 2/6･b(n)
(2)の確率は {1 － b(n)}･3/6
∴b(n+1) ＝ 1/3･b(n) ＋ {1 － b(n)}･1/2
ここで、初項 b(1) ＝ 1/3 なので
中略
漸化式をといて、
b(n) ＝ -2/21・(-1/6)^(n-1) ＋ 3/7
>>119さん
計算あってましたね。Σ(゜▽゜）
訂正します。m(＿)m
>>黒雛さん添削のしようがないす。(ノ∀｀)ｱﾀｰ
(i/SO903i, ID:gR1fhSxMO)
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119 :
浪人生
2008/01/13(日) 00:49:17
>>117b(n)=(-1/6)^n×4/7+3/7
もう解説を書く気力は残ってませんw
(ez/W41S, ID:i4XLIgrNO)
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118 :
黒雛
2008/01/13(日) 00:29:20
ｂ(ｎ)＝１/３(１/２)^(ｎ－１)
かなぁ…また間違えて生き恥をorz...(笑)
(i/P901iS, ID:WIRE01ZkO)
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117 :
テクラ
2008/01/13(日) 00:09:42
問題投下
A、B、C、３っの箱があり、Bの箱だけに１っの玉が入っている。
ｻｲｺﾛを振り、出た目によって次の(Ⅰ)または(Ⅱ)の操作を行う。
(Ⅰ)AまたはCの箱に玉が入っている場合は、偶数の目が出ればBの箱に玉を移し、奇数の目が出れば、そのままAまたはCの箱に入れておく。
(Ⅱ)Bの箱に玉が入っている場合は、1・2が出ればAの箱に、3・4が出ればCの箱に移し、5・6が出ればBの箱に入れたままにする。
n回の操作後、Bの箱に玉が入っている確率をb(n)とするとb(n)はnを使ってどのように表されるか。
(i/SO903i, ID:gR1fhSxMO)
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116 :
匿名
2008/01/12(土) 23:36:33
>>112,113お見事!
全問正解です!
余談ですが２)は直接
sin3ｘ＝3sinｘー4(sinｘ)^3
の3倍角公式から
＝{3ー4(sinｘ)^2}sinｘ
＝{4(cosｘ)^2－1}sinｘ
とずぼらしてもokみたいです(笑
(ez/W41CA, ID:m/kQhaRDO)
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115 :
テクラ
2008/01/12(土) 23:04:19
>>107惜しいね。(笑)
2^3n － 1 ＝ 8^n － 1
＝ (8－1)(8^n-1 ＋ ………… ＋ 1 )
＝7(整数)
∴2^3n － 1 は７で割りきれる
証明終わり
ですね。
>>108数学的帰納法ですか～。
素晴らしいですね。(~д~)ﾑｰ････
当然正解です。Σ(゜▽゜）
>>111漏れ無く正解です。(*´▽｀*)
(i/SO903i, ID:gR1fhSxMO)
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114 :
黒雛
2008/01/12(土) 22:25:51
すごい…(((;ﾟДﾟ)))ｶﾞｸｶﾞｸ
(i/P901iS, ID:WIRE01ZkO)
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113 :
浪人生
2008/01/12(土) 22:03:49
>>1093)π/5=Xとおく
2)より
sin3X={4(cosX)^2-1}sinX
1)よりsin3X=sin2X=2sinXcosX
よって
2cosX=4(cosX)^2-1
∴cosX=(1±√5)/4
cosX＞0より
cosX=(1+√5)/4
3π/5=αとおくと
cosα=(1±√5)/4
cosα＜0より
cosα=(1-√5)/4
4)∫(sin2x-sin3x)dx
=[(cos3x)/3-(cos2x)/2]
=(cosπ/5)/3+(cosπ/5)/2-(cos3π/5)/3-(cos3π/5)/2
=5/6(cosπ/5-cos3π/5)
=5√5/12
あってたら誉めてくれw
(ez/W41S, ID:i4XLIgrNO)
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112 :
浪人生
2008/01/12(土) 21:32:16
>>1091)sin(2π/5)
=sin(π-2π/5)
=sin(3π/5)
sin(6π/5)
=sin(-π/5)
=sin(2π-π/5)
=sin(9π/5)
2)sin3x
=sin2x×cosx+cos2x×sinx
=2sinx(cosx)^2+{2(cosx)^2-1}sinx
={4(cosx)^2-1}sinx
ひとまずここまでw
(ez/W41S, ID:i4XLIgrNO)
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111 :
匿名
2008/01/12(土) 21:19:45
>>106x≠1で、等比数列の和の公式より、
1+x+x^2+･･･+x^(n-1)
=(x^n-1)/(x-1)
x=8を代入して、
1+8+8^2+･･･+8^(n-1)
=(8^n-1)/7
整理すると、
8^n-1=2^(3n)-1
=7{1+8+8^2+･･･+8^(n-1)}
ここで{1+8+8^2+･･･+8^(n-1)}は整数なので、7{1+8+8^2+･･･+8^(n-1)}は7の倍数。
よって2^(3n)-1は7の倍数である。
センターやり過ぎでなまっております(´‐ω‐`))
(ez/neon, ID:bjQIjmxzO)
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110 :
黒雛
2008/01/12(土) 21:16:20
>>108まいりました(笑)たぶんあってるんやないかな？？おれ証明できね～(´Д｀)(笑)
(i/P901iS, ID:WIRE01ZkO)
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109 :
匿名
2008/01/12(土) 21:05:15
ある大学の２次試験過去問
１)ｘ＝π/5 、3π/5のとき
sin2ｘ＝sin3ｘ
が成り立つことを示せ
２)等式
sin3ｘ＝{4(cosｘ)^2－1 }sinｘ
を示せ
３)cos(π/5)、cos(3π/5)の値を求めよ
４)区間π/5≦ｘ≦3π/5において2曲線ｙ＝sin2ｘ、ｙ＝sin3ｘで囲まれた図形の面積を求めよ
回答
>>112,113(ez/W41CA, ID:m/kQhaRDO)
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108 :
浪人生
2008/01/12(土) 20:12:58
(Ⅰ)n=1のとき
2^3-1=7より成り立つ
(Ⅱ)n=kのとき
2^(3k)-1=7m(mは整数)が成り立つと仮定して
2^(3k)=7m+1
n=k+1のとき
2^(3k+3)-1
=2^(3k)×8-1
=(7m+1)×8-1
=56m+7
=7(8m+1)
よってn=k+1のときも成り立つ
∴(Ⅰ)(Ⅱ)より2^(3n)-1は7で割りきれる
こんな感じ？
(ez/W41S, ID:i4XLIgrNO)
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107 :
黒雛
2008/01/12(土) 19:05:48
２^３ｎ－１とゆうことは…８^ｎ－１だから…
違うかもだけどこの先頼んだ(笑)うまくまとめられない！！
とか言って的外れな自分が恥ずかしい(笑)
(i/P901iS, ID:WIRE01ZkO)
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106 :
テクラ
2008/01/12(土) 18:34:37
前にあったあるｽﾚを思い出すなぁ～。(笑)
じゃあ、俺からも問題！
２^3n － １
これが７で割れる事を証明せよ。
シンプルが１番！
(i/SO903i, ID:gR1fhSxMO)
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105 :
黒雛
2008/01/12(土) 18:15:41
>>>104納得(＞ε＜)b
(i/P901iS, ID:WIRE01ZkO)
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104 :
匿名
2008/01/12(土) 17:55:04
>>103おぉ素晴らしい絵だ(笑
んと、エネルギー使うのはあってるけど抵抗が無い時は力学的エネルギーは保存するから＞とか＜になることは無いよ
一応模範(?)回答
始めの位置エネルギーとループ頂点での力学的エネルギーの和は等しいので
mgh＝2mgr＋(1/2)mv^2
v^2＝2gh－4gr…①
小球がループから離れない為にはループ頂点で小球が垂直抗力Ｎを受けていれば良いので
Ｎ＞０…②
このときの鉛直方向の力の釣り合いの式は
(mv^2)/r(遠心力)＝mg＋Ｎ…③
②③より
(mv^2)/r－mg＞0
(m＞0 r＞0なので)
v^2－gr＞0
これに①を代入して
2gh－4gr－gr＞0
2gh＞5gr
(g＞0なので)
h＞2.5r
∴半径の2.5倍より高い高さから転がした時ループを一周する
(ez/W41CA, ID:m/kQhaRDO)
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103 :
黒雛
2008/01/12(土) 14:46:25
>>88＿〇＿ ／￣＼
↑ ＼ ｜半径ｒ│
ｈ｜ ＼ ｜ ｜
↓ ＼＿＼＿∠＿＿＿＿＿
ループの半径ｒ
だからるーぷの高さ２ｒ
玉の質量ｍ、重力加速度ｇ、小球の球の高さｈとする…
はじめのエネ
静かにだから初速度は０
位置エネ＝ｍｇｈ
ループの一番高いトコ
位置エネ＝２ｍｇｒ
運動エネ＝１/２ｍｖ^２
(＝)
↓
ｍｇｈ＞２ｍｇｒ＋１/２ｍｖ^２
※ｖは一番高いトコの早さ
かなぁ、やってみたけど証明苦手だし…(笑)あとは任せた！
(i/P901iS, ID:WIRE01ZkO)
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102 :
黒雛
2008/01/12(土) 11:17:57
ワァオ、計算大変…(T_T)(笑)
(i/P901iS, ID:WIRE01ZkO)
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101 :
浪人生
2008/01/12(土) 00:48:18
>>952)
一番上を固定すると
一番下は11通り
上から2段目は10色から5色選んでの円順列だから
(10P5)/5
そして残りは5P5
∴11×(10!/5)
分かりづらい？
(ez/W41S, ID:i4XLIgrNO)
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103 :
黒雛
2008/01/12(土) 14:46:25
>>88＿〇＿ ／￣＼
↑ ＼ ｜半径ｒ│
ｈ｜ ＼ ｜ ｜
↓ ＼＿＼＿∠＿＿＿＿＿
ループの半径ｒ
だからるーぷの高さ２ｒ
玉の質量ｍ、重力加速度ｇ、小球の球の高さｈとする…
はじめのエネ
静かにだから初速度は０
位置エネ＝ｍｇｈ
ループの一番高いトコ
位置エネ＝２ｍｇｒ
運動エネ＝１/２ｍｖ^２
(＝)
↓
ｍｇｈ＞２ｍｇｒ＋１/２ｍｖ^２
※ｖは一番高いトコの早さ
かなぁ、やってみたけど証明苦手だし…(笑)あとは任せた！
(i/P901iS, ID:WIRE01ZkO)
106 :
テクラ
2008/01/12(土) 18:34:37
前にあったあるｽﾚを思い出すなぁ～。(笑)
じゃあ、俺からも問題！
２^3n － １
これが７で割れる事を証明せよ。
シンプルが１番！
(i/SO903i, ID:gR1fhSxMO)
107 :
黒雛
2008/01/12(土) 19:05:48
２^３ｎ－１とゆうことは…８^ｎ－１だから…
違うかもだけどこの先頼んだ(笑)うまくまとめられない！！
とか言って的外れな自分が恥ずかしい(笑)
(i/P901iS, ID:WIRE01ZkO)
108 :
浪人生
2008/01/12(土) 20:12:58
(Ⅰ)n=1のとき
2^3-1=7より成り立つ
(Ⅱ)n=kのとき
2^(3k)-1=7m(mは整数)が成り立つと仮定して
2^(3k)=7m+1
n=k+1のとき
2^(3k+3)-1
=2^(3k)×8-1
=(7m+1)×8-1
=56m+7
=7(8m+1)
よってn=k+1のときも成り立つ
∴(Ⅰ)(Ⅱ)より2^(3n)-1は7で割りきれる
こんな感じ？
(ez/W41S, ID:i4XLIgrNO)
109 :
匿名
2008/01/12(土) 21:05:15
ある大学の２次試験過去問
１)ｘ＝π/5 、3π/5のとき
sin2ｘ＝sin3ｘ
が成り立つことを示せ
２)等式
sin3ｘ＝{4(cosｘ)^2－1 }sinｘ
を示せ
３)cos(π/5)、cos(3π/5)の値を求めよ
４)区間π/5≦ｘ≦3π/5において2曲線ｙ＝sin2ｘ、ｙ＝sin3ｘで囲まれた図形の面積を求めよ
回答
>>112,113(ez/W41CA, ID:m/kQhaRDO)
111 :
匿名
2008/01/12(土) 21:19:45
>>106x≠1で、等比数列の和の公式より、
1+x+x^2+･･･+x^(n-1)
=(x^n-1)/(x-1)
x=8を代入して、
1+8+8^2+･･･+8^(n-1)
=(8^n-1)/7
整理すると、
8^n-1=2^(3n)-1
=7{1+8+8^2+･･･+8^(n-1)}
ここで{1+8+8^2+･･･+8^(n-1)}は整数なので、7{1+8+8^2+･･･+8^(n-1)}は7の倍数。
よって2^(3n)-1は7の倍数である。
センターやり過ぎでなまっております(´‐ω‐`))
(ez/neon, ID:bjQIjmxzO)
112 :
浪人生
2008/01/12(土) 21:32:16
>>1091)sin(2π/5)
=sin(π-2π/5)
=sin(3π/5)
sin(6π/5)
=sin(-π/5)
=sin(2π-π/5)
=sin(9π/5)
2)sin3x
=sin2x×cosx+cos2x×sinx
=2sinx(cosx)^2+{2(cosx)^2-1}sinx
={4(cosx)^2-1}sinx
ひとまずここまでw
(ez/W41S, ID:i4XLIgrNO)
113 :
浪人生
2008/01/12(土) 22:03:49
>>1093)π/5=Xとおく
2)より
sin3X={4(cosX)^2-1}sinX
1)よりsin3X=sin2X=2sinXcosX
よって
2cosX=4(cosX)^2-1
∴cosX=(1±√5)/4
cosX＞0より
cosX=(1+√5)/4
3π/5=αとおくと
cosα=(1±√5)/4
cosα＜0より
cosα=(1-√5)/4
4)∫(sin2x-sin3x)dx
=[(cos3x)/3-(cos2x)/2]
=(cosπ/5)/3+(cosπ/5)/2-(cos3π/5)/3-(cos3π/5)/2
=5/6(cosπ/5-cos3π/5)
=5√5/12
あってたら誉めてくれw
(ez/W41S, ID:i4XLIgrNO)
117 :
テクラ
2008/01/13(日) 00:09:42
問題投下
A、B、C、３っの箱があり、Bの箱だけに１っの玉が入っている。
ｻｲｺﾛを振り、出た目によって次の(Ⅰ)または(Ⅱ)の操作を行う。
(Ⅰ)AまたはCの箱に玉が入っている場合は、偶数の目が出ればBの箱に玉を移し、奇数の目が出れば、そのままAまたはCの箱に入れておく。
(Ⅱ)Bの箱に玉が入っている場合は、1・2が出ればAの箱に、3・4が出ればCの箱に移し、5・6が出ればBの箱に入れたままにする。
n回の操作後、Bの箱に玉が入っている確率をb(n)とするとb(n)はnを使ってどのように表されるか。
(i/SO903i, ID:gR1fhSxMO)
119 :
浪人生
2008/01/13(日) 00:49:17
>>117b(n)=(-1/6)^n×4/7+3/7
もう解説を書く気力は残ってませんw
(ez/W41S, ID:i4XLIgrNO)
88 :
匿名
2008/01/10(木) 21:04:41
>>87引っかけですか(笑
なんか使わない文字あると不安になる…(苦笑
解いてばっかで何なんで物理・力学から出題
真円で出来た半径ｒのループコースターに、十分に長いレールがついている
このレールからコースターに小球を静かに転がした時、コースターから離れずに１周回るための条件を求めよ
答えは有名(?)だからできたら回答方法もお願いします
回答
>>104(ez/W41CA, ID:m/kQhaRDO)
95 :
浪人生
2008/01/11(金) 23:31:25
俺からも問題
1)立方体を6色で塗り分ける方法は何通りあるか？
2)正十二面体を12色で塗り分ける方法は何通りあるか？
3)正二十面体を…
一番はまあどこにでもある
二番は少し前に適当に作ってみた
三番は考えなくていい
俺も考えてないからw
(ez/W41S, ID:i4XLIgrNO)
104 :
匿名
2008/01/12(土) 17:55:04
>>103おぉ素晴らしい絵だ(笑
んと、エネルギー使うのはあってるけど抵抗が無い時は力学的エネルギーは保存するから＞とか＜になることは無いよ
一応模範(?)回答
始めの位置エネルギーとループ頂点での力学的エネルギーの和は等しいので
mgh＝2mgr＋(1/2)mv^2
v^2＝2gh－4gr…①
小球がループから離れない為にはループ頂点で小球が垂直抗力Ｎを受けていれば良いので
Ｎ＞０…②
このときの鉛直方向の力の釣り合いの式は
(mv^2)/r(遠心力)＝mg＋Ｎ…③
②③より
(mv^2)/r－mg＞0
(m＞0 r＞0なので)
v^2－gr＞0
これに①を代入して
2gh－4gr－gr＞0
2gh＞5gr
(g＞0なので)
h＞2.5r
∴半径の2.5倍より高い高さから転がした時ループを一周する
(ez/W41CA, ID:m/kQhaRDO)
87 :
匿名
2008/01/10(木) 20:35:31
>>84正解です。
(1) Ｑ=(mv^2)/2 [J]
(2) Ｑ/mcまたはv^2/2c [K]
そうです、s[m]は使わないんです。ひっかけみたいです。
(ez/W54T, ID:gz7EMhM4O)
84 :
匿名
2008/01/10(木) 20:15:14
>>83あ～そっちの方が楽ですね(汗
>>80ついで?に
動き始めの物体の持つ運動エネルギー=(mv^2)/2
静止後の〃 =0
∴摩擦によって発生する熱量=摩擦によって失われた運動エネルギーQ=(mv^2)/2
温度変化=Q/mc
=(v^2)/2c
ｓ使わなかった…(汗
(ez/W41CA, ID:m/kQhaRDO)
80 :
匿名
2008/01/10(木) 18:23:16
物理が少ないので、物理の問題を…熱量から
あらい水平面上に質量ｍ[kg]､比熱c[J/(kg･K)]の金属の物体を置き､初速v[m/s]を加えたところ距離s[m]だけ滑って静止した。
(1)このとき摩擦によって発生した熱量Ｑ[J]はいくらか。Ｑ=〔 〕[J]
(2)熱量Ｑ[J]がすべて物体の温度上昇に使われたとすると､物体の温度上昇はいくらか。〔 〕[K]
ｾﾝﾀｰﾚﾍﾞﾙの初歩かと。
答え
>>84>>87(ez/W54T, ID:gz7EMhM4O)
83 :
浪人生
2008/01/10(木) 19:09:31
>>82楽かどうかは分からんけど
1)5P4=120
2)4C2×(4!/2!)=72
(ez/W41S, ID:i4XLIgrNO)
82 :
匿名
2008/01/10(木) 18:51:05
>>81確率系列不安だから挑戦
１)５種類から４種類選ぶ…5C4=５通り
４種類４文字を並べる…4P4=２４通り
∴５×２４＝１２０通り
２)Ｂ以外の４種類の文字から２つ選ぶ…4C2＝６通り
Ｂ２つを４箇所のうち二つに入れる…4C2＝６通り
空いた二つに残りの２文字を入れる…２通り
∴６×６×２＝７２通り
３)Ｂ以外の４種類から一つ…４通り
Ｂを４箇所から３つに入れる…4C3＝４通り
残りに余った文字…１通り
∴４×４×１=１６通り
４) １・２・３のパターンで全部だから
１２０＋７２＋１６＝２０８通り
もっと楽な方法あるかな?
(ez/W41CA, ID:m/kQhaRDO)
81 :
黒雛
2008/01/10(木) 18:26:54
Ａ、Ｂ、Ｂ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、
の７つの文字から、４つの文字を取り出して一列に並べた文字列をつくる。
・)異なる４文字を使ってできる文字列は何通り？
・)Ｂの文字を２つ使ってできる文字列は何通り？
・)Ｂの文字を３つ使ってできる文字列は何通り？
・)文字列は全部で何通り？
答えやすいのだしてみました(>-<#)
解答
>>82,83(i/P901iS, ID:WIRE01ZkO)